Ordinale Zeitreihen: Modellierung, Vorhersage und Kontrolle

 
Dreijähriges Projekt, gefördert durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) – Projektnummer 516522977.

Projektziele:

Eine ordinale Zeitreihe ist eine zeitliche Abfolge diskretwertiger Beobachtungen, deren Wertebereich qualitativ ist und aus einer endlichen Zahl an geordneten Kategorien besteht. Ordinale Zeitreihen sind in den verschiedensten Situationen mit wirtschaftswissenschaftlichem Kontext anzutreffen und können vielfältige Formen hinsichtlich ihrer Abhängigkeitsstruktur oder Randverteilung aufweisen. Letztgenannte Merkmale können mit Hilfe analytischer Werkzeuge, wie sie jüngst für ordinale Zeitreihen entwickelt wurden, herausgearbeitet werden. Im Anschluss daran wäre nun eine adäquate Modellierung der ordinalen Zeitreihe nötig, welche wiederum als Basis für die Vorhersage der Zeitreihe oder für die statistische Kontrolle des weiteren Verlaufs genutzt werden könnte. An dieser Stelle setzt das geplante Forschungsvorhaben ein, denn weder für die Modellierung noch für die Vorhersage oder Kontrolle ordinaler Zeitreihen gibt es bis dato ein hinreichendes Repertoire an maßgeschneiderten Methoden. Stattdessen werden zumeist Ansätze für nominale Zeitreihen verwendet (die dann aber die natürliche Anordnung der Kategorien außer Acht lassen), oder solche für quantitative Zeitreihen (die dann aber implizit eine metrische Struktur unterstellen).

Ziel des geplanten Forschungsvorhabens ist es, ein umfassendes Paket an Methoden zur stochastischen Modellierung, Vorhersage und Kontrolle ordinaler Zeitreihen zu entwickeln. Dabei sollen bereits existierende Verfahren aufgegriffen und die noch offenen Bereiche durch neue eigene Beiträge geschlossen werden. Der erste Schritt wäre dabei die Entwicklung eines Baukastens aus möglichst verschiedenen Modellen, durch die eine breite Palette an stochastischen Eigenschaften abgedeckt wird. Bei allen sich ergebenden Modelltypen ist neben der eigentlichen Modelldefinition und den stochastischen Modelleigenschaften stets auch die Frage der Modellanpassung (Identifikation, Schätzung, Validierung) zu berücksichtigen. Daran schließen die Teilprojekte zur Vorhersage und Kontrolle an, welche die zuvor neu entwickelten Modelle bereits einbeziehen sollen. In puncto Vorhersage sollen adäquate Kriterien zur Bewertung der Vorhersagequalität hergeleitet werden (welche also der ordinalen Natur der Daten gerecht werden), um dann mit diesen die Performanz der verschiedenen Vorhersageansätze (Punkt-, Bereichs- und PMF-Vorhersagen) eingehend empirisch zu untersuchen. Hinsichtlich der Kontrolle sollen Kontrollkarten für seriell abhängige ordinale Prozesse entwickelt und untersucht werden, wobei neben stichprobenbasierten Karten vor allem Einzelwert-Gedächtniskarten im Fokus stehen, welche bis dato gänzlich in der Fachliteratur fehlen. Für alle vorgeschlagenen Verfahren werden Performanz und Anwendbarkeit eingehend untersucht, sowohl durch umfassende vergleichende Simulationsstudien wie auch durch Anwendung auf in den Wirtschaftswissenschaften relevante reale Datenbeispiele.

Projektlaufzeit:

April 2023 – März 2026.

Projektresultate:

• Weiß, C.H., Schnurr, A. (2023):
  Generalized ordinal patterns in discrete-valued time series: nonparametric testing for serial dependence.
  Accepted for publication in Journal of Nonparametric Statistics (open access).
   
  Abstract: We provide a new testing procedure to detect serial dependence in time series. Our method is based solely on the ordinal structure of the data. We explicitly allow for ties in the data windows we consider. Consequently, we use generalized ordinal patterns, that is, Cayley permutations. Unlike in the classical case, the pattern distribution is not uniform under the null hypothesis of serial independence. In our new framework, the underlying distribution has to be taken into account and we overcome this problem by a bootstrap procedure. The applicability of our method is supported by a simulation study and two real-world data examples.
   
• Weiß, C.H. (2023):
  Ordinal compositional data and time series.
  Accepted for publication in Statistical Modelling (open access).
   
  Abstract: There are several real applications where the categories behind compositional data (CoDa) exhibit a natural order, which, however, is not accounted for by existing CoDa methods. For various application areas, it is demonstrated that appropriately developed methods for ordinal CoDa provide valuable additional insights and are, thus, recommended to complement existing CoDa methods. The potential benefits are demonstrated for the (visual) descriptive analysis of ordinal CoDa, for statistical inference based on CoDa samples, for the monitoring of CoDa processes by means of control charts, and for the analysis and modelling of compositional time series. The novel methods are illustrated by a couple of real-world data examples.
   
• Jahn, M., Weiß, C.H. (2023):
  Nonlinear GARCH-type models for ordinal time series.
  Accepted for publication in Stochastic Environmental Research and Risk Assessment (open access).
   
  Abstract: Despite their relevance in various areas of application, only few stochastic models for ordinal time series are discussed in the literature. To allow for a flexible serial dependence structure, different ordinal GARCH-type models are proposed, which can handle nonlinear dependence as well as kinds of an intensified memory. The (logistic) ordinal GARCH model accounts for the natural order among the categories by relying on the conditional cumulative distributions. As an alternative, a conditionally multinomial model is developed which uses the softmax response function. The resulting softmax GARCH model incorporates the ordinal information by considering the past (expected) categories. It is shown that this latter model is easily combined with an artificial neural network response function. This introduces great flexibility into the resulting neural softmax GARCH model, which turns out to be beneficial in three real-world time series applications (air quality levels, fear states, cloud coverage).
   
• wird fortgesetzt!