{"id":232,"date":"2017-11-02T13:44:05","date_gmt":"2017-11-02T12:44:05","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hsu-hh.de\/tet\/?page_id=232"},"modified":"2017-11-02T14:24:44","modified_gmt":"2017-11-02T13:24:44","slug":"extremalpunkt-methode","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.hsu-hh.de\/tet\/extremalpunkt-methode","title":{"rendered":"Extremalpunkt-Methode"},"content":{"rendered":"<p>Das \u00e4u\u00dfere Feld eines elektrisch geladenen K\u00f6rpers kann n\u00e4herungsweise durch Superposition endlich vieler elektrischer Ladungstr\u00e4ger berechnet werden, die sich in einer Gleichgewichtslage auf dessen Oberfl\u00e4che befinden. Diese Gleichgewichtslage ist durch ein Minimum der elektrostatischen Energie des Systems charakterisiert. Infolge langsamer Konvergenz der \u00fcberlagerten Punktpotentiale gegen das elektrostatische Potential im Au\u00dfenraum des geladenen K\u00f6rpers (~ 1\/\u221an, n: Zahl der Ladungstr\u00e4ger), ist diese Methode in ihrer urspr\u00fcnglichen Form nicht konkurrenzf\u00e4hig gegen\u00fcber anderen Verfahren zur numerischen Feldberechnung, wie\u00a0<abbr title=\"zum Beispiel\">z.B.<\/abbr>\u00a0Randintegralmethoden.<\/p>\n<p>Eine Analyse zeigt, dass der gr\u00f6\u00dfte Fehleranteil dadurch entsteht, dass bei der Berechnung des Potentials einer endlichen Ladungsverteilung die Energie der Ladungstr\u00e4ger in ihrem eigenen Feld unendlich w\u00e4re und nicht ber\u00fccksichtigt werden kann.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone  wp-image-271\" src=\"https:\/\/www.hsu-hh.de\/tet\/wp-content\/uploads\/sites\/673\/2017\/11\/Extremalpunkte-293x300.jpg\" alt=\"Extremalpunkte\" width=\"289\" height=\"296\" srcset=\"https:\/\/www.hsu-hh.de\/tet\/wp-content\/uploads\/sites\/673\/2017\/11\/Extremalpunkte-293x300.jpg 293w, https:\/\/www.hsu-hh.de\/tet\/wp-content\/uploads\/sites\/673\/2017\/11\/Extremalpunkte.jpg 711w\" sizes=\"auto, (max-width: 289px) 100vw, 289px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Ziel ist es, ein alternatives Extremalpunktsystem einzuf\u00fchren, das ein abgewandeltes diskretes Potential minimiert, das so modifiziert wurden, dass das Potential der kontinuierlichen Ladungsverteilung um Gr\u00f6\u00dfenordnungen schneller approximiert wird.<\/p>\n<p>Die zugrunde liegende Idee ist, die approximierende Punktewolke in zwei Klassen zu unterteilen, und nur Wechselwirkungen zwischen &#8222;Ladungen&#8220; der unterschiedlichen Klassen zu ber\u00fccksichtigen. \u00dcber geometrische Dualit\u00e4t der beiden Klassen wird sichergestellt, dass die Punkte jeder Klasse eine gute Verteilung besitzen. Ein zweidimensionales Analogon dieser Methode wurde bereits im letzten Jahrhundert von K. Menke untersucht. In letzterem Fall konnte ein schnelles asymptotisches Abklingen des Fehlers auf glatten Kurven in der Gr\u00f6\u00dfenordnung\u00a0\u00a0mit\u00a0\u00a0nachgewiesen werden. Bei dieser Konvergenzgeschwindigkeit gen\u00fcgen wenige Punkte, um das \u00e4u\u00dfere Feld genau darzustellen, so dass dieses Vorgehen als formale Methode zur numerischen Feldberechnung effizient einsetzbar wird.<\/p>\n<p>Dabei beschr\u00e4nkt sich der Einsatz von Extremalpunktmethoden keineswegs auf statische Probleme: Durch die Erweiterung der Minimierungsaufgabe zur Bestimmung der Extremalpunkte um ein zus\u00e4tzliches zeitabh\u00e4ngiges externes Feld ist es m\u00f6glich, eine Kopplung transienter Effekte innerhalb des umschlossenen Volumens mit dem \u00e4u\u00dferen Feld zu ber\u00fccksichtigen. Insbesondere ist die Kopplung einer transienten Finite-Elemente-Simulation innerhalb des Volumens mit der Extremalpunkt\u00admethode aussichtsreich.<br \/>\nLiteratur<\/p>\n<p>Kontakt :\u00a0Manuel Jaraczewski<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Das \u00e4u\u00dfere Feld eines elektrisch geladenen K\u00f6rpers kann n\u00e4herungsweise durch Superposition endlich vieler elektrischer Ladungstr\u00e4ger berechnet werden, die sich in einer Gleichgewichtslage auf dessen Oberfl\u00e4che befinden. 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